Teoremi di Matematica

Le Serie

Considero una successione (a_n)_.  con n appartenente a No

ora prendo in considerazione la somma dei termini della successioni

a₁+a₂+...+a_n+... =

_{Adesso vengo a considerare il limite della ridotta ennesima infatti se tale limite è finito la serie è convergente. Si può anche rappresentare il limite di s:}

se è la serie diverge a se invece il lim risulta essere anche la serie divergerà a se non ammette limite la serie è oscillante

Criterio Asintotico o di Gauss

Consideriamo due serie a termini non negativi se il limite per n che diverge a di an/bn=l >0 allora le due serie hanno lo stesso carattere.

Per ipotesi diciamo che anche la serie bn ha lo stesso carattere di an =>

<

=

Si applica la definizione di limite:

 pongo =C =>

Che se bn(C) converge per transitività anche an converge, quindi la tesi.

Serie Geometrica

Una serie si dice geometrica quando il primo termine della serie è uguale ad 1 e il rapporto fra ogni termine con il precedente è una costante.

x/x appartiene R, mi costituisce la ragione

 (1) 1 + x + x² + x³ +. . . . . .+ xⁿ

Sn: successione delle ridotte o delle somme parziali

Per potere calcolare il carattere della serie occorre calcolare: Sn;

• Per x=1 si ha Sn= n e quindi la serie (1) diverge perché il

Da ciò si deduce che la serie di ragione 1 diverge.

• Per x= -1 la serie data diventa: 1-1+1-1+1-1+...

Ed è indeterminata essendo s₁=1, s₂=0, s₃=1, s₄=0…

Da ciò si deduce che la serie di ragione -1è indeterminata.

• Per |x|≠1 si ha:

sn=1+x+x²+….+x^n-1, e –xSn= -x-x²-x³…-xⁿ

Sommando membro a membro  si ha: Sn(1-x)=1-xⁿ =>

Si hanno i seguenti casi:

1. |x|< 1      =>   == =

Pertanto la serie geometrica di ragione |x|<1 è convergente ed ha sempre come somma:

2. |x|> 1

In questa ipotesi essendo xⁿ =, si ha: =

Pertanto la serie geometrica di ragione |x|>1 è divergente.

Equazioni Differenziali

Gli Integrali: proprietà e metodi

Se f è una funzione continua nell’intervallo X, la totalità delle sue primitive prende il nome di integrale indefinito della funzione f, o del differenziale f (x) dx, e si indica con il simbolo:

Integrazione per decomposizione in somma

Esempio:

Integrazione per parti, regola:

dove ff è il fattore finito e fd il fattore differenziale.